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RSA弱参数与侧信道攻击选择：根据 n/e/c 和可用…

在 CTF 或授权评估中拿到 RSA 参数、签名或 oracle 时，按可观测弱点选择对应的分解、小指数、格、共模、填充 oracle 或故障攻击来恢复明文/私钥。

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适用场景

RSA弱参数与侧信道攻击选择：根据 n/通用

解决思路

  1. 先按相关技能路由：需要 Coppersmith/Boneh-Durfee 的格理论时加载 [lattice-crypto-attacks](../lattice-crypto-attacks/SKILL.md)；RSA 签名伪造涉及哈希弱点时加载 [hash-attack-techniques](../hash-attack-techniques/SKILL.md)；RSA 保护对称密钥（混合加密）时加载 [symmetric-cipher-attacks](../symmetric-cipher-attacks/SKILL.md)。
  2. 需要每个攻击的 SageMath/Python 实现、数学推导、边界情况与失败条件时，加载 [RSA_ATTACK_CATALOG.md](./RSA_ATTACK_CATALOG.md)。
  3. 快速攻击选择：n < 512 bits → 用 factordb、yafu、msieve 直接分解。
  4. 快速攻击选择：e=3 且消息小 → 用 gmpy2.iroot 开立方根。
  5. 快速攻击选择：多个 (n,c) 且相同小 e → 用 CRT + iroot 执行 Hastad 广播攻击。
  6. 快速攻击选择：e 很大或 d 很小 → 用 SageMath、RsaCtfTool 尝试 Wiener / Boneh-Durfee。
  7. 快速攻击选择：已知 p 的部分信息 → 用 SageMath 执行 Coppersmith small roots。
  8. 快速攻击选择：同一 n、不同 e → 用扩展 GCD 执行共模攻击。
  9. 快速攻击选择：多个 n 值 → 用 Python/SageMath 执行 Batch GCD 查找共享因子。
  10. 快速攻击选择：Padding 错误 oracle → 编写自定义脚本执行 Bleichenbacher。
  11. 快速攻击选择：LSB 奇偶 oracle → 编写自定义脚本执行 LSB oracle attack。
  12. 快速攻击选择：CRT 计算发生故障 → 用单个错误签名执行 RSA-CRT 故障攻击。
  13. 直接分解小 n：用 from sympy import factorint; factors = factorint(n); p, q = list(factors.keys())；适用 n < ~512 bits 或已知在 factordb 中。
  14. Fermat 分解：当 p 和 q 很接近（|p-q| 小）时，用 gmpy2 的 isqrt/is_square 循环找 a^2-n 为平方数，返回 (a+b,a-b)。
  15. Pollard p-1：当 p-1 只有小素因子（B-smooth）时，用 gmpy2.gcd，取 a=2，对 j 从 2 到 B 迭代 a = pow(a,j,n)，最后 d = gcd(a-1,n)。
  16. Batch GCD：当多个 RSA 模数可能共享因子时，用 math.gcd 和 functools.reduce 计算所有 moduli 的乘积，对每个 n 取 product//n 后 gcd(n, remainder)，若 1<g<n 则记录 (g, n//g)。
  17. 小指数立方根攻击：当 e=3 且 m^e < n（未发生模约减）时，用 gmpy2.iroot(c,e)，exact 为真则 m 即明文。
  18. Hastad 广播攻击：同一消息用相同小 e 在不同模数 (n1,n2,...,ne) 加密时，用 sympy.ntheory.modular.crt 和 gmpy2.iroot 先 CRT 再开 e 次根。
  19. Franklin-Reiter 相关消息攻击：当 m2 = a*m1 + b、同一 n 和 e 时，在 SageMath 的 PolynomialRing(Zmod(n)) 中构造 f1=x^e-c1、f2=(a*x+b)^e-c2，用 gcd(f1,f2) 恢复 m。
  20. Wiener 攻击：当 d < n^(1/4)/3 时，对 e/n 做连分数展开，枚举 convergents (k,d)，检查 phi_candidate=(e*d-1)//k，由 s=n-phi_candidate+1 和判别式 s^2-4n 是否为平方数恢复 d；使用 continued_fraction 和 get_convergents 函数。
  21. Boneh-Durfee 攻击：当 d < n^0.292 时，用格约减（LLL/BKZ）扩展 Wiener；使用 SageMath 实现，理论见 lattice-crypto-attacks。
  22. Coppersmith stereotyped message：已知明文一部分、未知部分很小时，在 SageMath 中建立 PolynomialRing(Zmod(n))，令 f=(known_int+x)^e-c，调用 f.small_roots(X=2^(unknown_bits*8), beta=1.0) 恢复明文。
  23. Coppersmith 部分密钥泄露：已知 p 的 MSB 或 LSB 时，在 SageMath 中令 f=p_msb+x，调用 f.small_roots(X=2^unknown_bits, beta=0.5)，得到 p 后 q=n//p。
  24. 共模攻击：同一 n 下同一消息用不同 e1,e2 且 gcd(e1,e2)=1 时，用扩展 GCD 得 s1*e1+s2*e2=1；若 s1<0 则 c1=invert(c1,n), s1=-s1；若 s2<0 同理；最后 m=(pow(c1,s1,n)*pow(c2,s2,n))%n。
  25. LSB oracle 攻击：当 oracle_func(c) 返回 m%2 时，初始化 lo=0, hi=n；对 n.bit_length() 次循环，每次 c=(c*pow(2,e,n))%n，若 oracle_func(c)==0 则 hi=(lo+hi)/2，否则 lo=(lo+hi)/2；最后返回 int(hi)。
  26. Bleichenbacher 攻击：当存在 PKCS#1 v1.5 padding 有效性 oracle 时，迭代收紧明文范围；平均每字节约 O(2^16) 次 oracle 查询；目标为对有效/无效 padding 返回不同错误的 TLS 实现。
  27. Manger 攻击：当存在 PKCS#1 OAEP oracle，且该 oracle 可区分 unpadding 后第一字节是否为 0x00 时，使用与 Bleichenbacher 类似的方法。
  28. RSA-CRT 故障攻击（有正确和错误签名）：计算 diff = pow(correct_sig,e,n) - pow(faulty_sig,e,n)，p = gcd(diff % n, n)，若 1<p<n 则 q=n//p。
  29. RSA-CRT 故障攻击（仅错误签名且消息已知）：计算 p = gcd(pow(faulty_sig,e,n)-msg, n)，若 1<p<n 则返回 p, n//p。
  30. 决策树：有 n 且 n < 512 bits → factordb.com → yafu → msieve 直接分解。
  31. 决策树：有多个 n 值 → 用 Batch GCD 找共享因子；若找到则分解共享因子的模数；若没有则逐个分析 n。
  32. 决策树：知道 e=3（或小 e）→ 单个密文且消息小用立方根；多个密文且不同 n 用 Hastad 广播；两个相关消息用 Franklin-Reiter；已知部分明文用 Coppersmith。
  33. 决策树：知道 e 很大 → 很可能 d 小 → Wiener → Boneh-Durfee。
  34. 决策树：同一 n、两个不同 e → 共模攻击（Bezout 系数）。
  35. 决策树：知道部分分解信息 → 已知 p 的某些比特用 Coppersmith 部分密钥；p-1 是 B-smooth 用 Pollard p-1；p≈q 用 Fermat 分解。
  36. 决策树：有 oracle → 奇偶 oracle (LSB) 用 LSB oracle 攻击；PKCS#1 v1.5 padding 有效性 oracle 用 Bleichenbacher；OAEP oracle 用 Manger 攻击。
  37. 决策树：有错误签名 → RSA-CRT 故障，从错误签名分解 n。
  38. 决策树：知道 e·d 关系 → 由 e·d ≡ 1 mod φ(n) 从 (e,d,n) 分解 n。
  39. 决策树：以上都不满足 → 检查 factordb 是否有已知分解；对中等大小 n 尝试 Pollard rho；检查实现缺陷（弱 PRNG 密钥生成）；若有物理访问考虑侧信道。
  40. 工具：用 RsaCtfTool 自动化 RSA 攻击：`python3 RsaCtfTool.py --publickey pub.pem --uncipherfile flag.enc`；从公钥恢复私钥 `python3 RsaCtfTool.py --publickey pub.pem -n --private`；从参数 `python3 RsaCtfTool.py -n $N -e $E --uncipher $C`；尝试所有攻击 `python3 RsaCtfTool.py --publickey pub.pem --uncipherfile flag.enc --attack all`。
  41. 工具：用 SageMath 做数学计算、Coppersmith、格攻击、多项式运算。
  42. 工具：用 factordb.com 检查 n 是否已被分解。
  43. 工具：用 yafu 做快速分解（SIQS/GNFS），命令 `yafu "factor(n)"`。
  44. 工具：用 msieve 做大 n 的 GNFS 分解。
  45. 工具：用 gmpy2 做快速整数运算，如 `iroot`、`invert`、`gcd`。
  46. 工具：用 pycryptodome 做 RSA 原语，从因子构造密钥。
  47. 分解后解密：用 `from Crypto.PublicKey import RSA` 和 `from gmpy2 import invert`；给定 p,q 计算 n=p*q, phi=(p-1)*(q-1), d=int(invert(e,phi))；计算 m=pow(c,d,n)；plaintext=m.to_bytes((m.bit_length()+7)//8,'big') 并打印。

适用边界 · 注意事项